18_활성화함수

자연상수 e 란 ?

자연상수는 1618년 네이피어에의해 발견되었으며, 베르누이에 의해 정의되었고, 오일러에 의해 출판되었다. 따라서 오일러 (Euler) 의 앞자인 e 를 따서 자연상수라 불리운다.

자연상수란 다음과 같이 정의한다.

1년간 이자율을 100%로 둘때에, 얻을 수 있는 최대 수익은 e(=2.718281..) 이다. 예를 들어, 1원을 1년동안 투자한다고 해보자. 1년 후에 얼마나 될까? 1원(원금) + 1원(이자) = 2원이다. 하지만, 복리 개념으로 들어가서, 1원을 투자하되 6개월 지나고 빼서 나머지 기간에 재투자를 하면 어떻게 될까? 1원(원금) + 0.5원(이자) + 1.5*0.5(이자) = 2.25원이 된다. 즉, 이를 식으로 나타내면, 다음과 같다.

$$(1+(1/4))^4 = 2.4414$$

$$(1+{1/365})^{365} =2.7....$$

그럼 많이 쪼갤수록 수익이 늘어나니, 무한대로 쪼개면 어떻게 될까? 이것이 자연상수의 정의이다.

$$(1+1/x)^x = 2.718281...$$

자연상수는 무리수이면서 초월수이다. 초월수란, 유리수 계수의 어떠한 다항식의 결과로도 표현할 수 없는 수를 의미한다. 그런데 왜 이름이 자연상수일까? "자연" 이라는 의미는 계산을 자연스럽게 한다는 의미이다. 파이를 생각해보자. 파이는 원의 지름이 1일때의 원의 둘레를 의미한다. 지름에 대한 둘레에 비율이다. 이를 통해 우리는 원의 넓이, 구의 겉넓이 등 원을 자연스럽게 표현할 수 있다. 이처럼 e는 다양한 분야에서 계산을 자연스럽게 해주기때문에 자연 상수라고 불린다.

우리가 흔히 미분을 하면, $3x^2=>6x$처럼 식의 꼴이 바뀐다. 하지만 $y=a^x$를 미분해도 똑같이 되게 하는 밑이 있다. 바로 e 이다.

• $e^x=>e^x$ , 미분해도 같은 값이 나온다.

• $log_e^x => 1/x$, 유리수의 기본 형태가 나온다.

• integral of $1/x$ (from 1 to e) 는 1이다.