1_선형대수의 기하학적 의미

2019-09-16 이민예

평균의 기하학적 의미

평균의 기하학적 의미는 열벡터 $y_i'$ 를 길이가 1인 단위 벡터 $1/√n*1'$ 에 사영한 벡터의 값과 같다. 이를 이해하기 위해선, 단위벡터, 내적, 사영에 대한 이해가 선행된다.

• 사영 공식 사용해서 유도하는 법을 모르겟음.

• 사영하는 벡터 길이가 더 길면?

Deviation Vector

$y_i'$ 벡터를 $1/√n*1'$ 벡터에 사영한 벡터는 평균벡터 $x^-$ 이다. Deviation Vector란 $y_i'-x^-$ 이다. 샘플링 할 때 평균을 빼주는 것과 같은 맥락이고, Deviation Vector를 Mean Centered Data라고도 한다.

분산(표준편차)의 기하학적 의미

• 벡터의 길이

Deviation Vector의 길이의 제곱(우측)을 자세히 보면 편차의 제곱의 합과 같다.

편차의 제곱의 합이란 분산에 사용된다.

• deviation vector의 길이의 제곱은 분산에 비례한다.

• deviation vector의 길이의 루트는 표준편차에 비례한다.

• deviation vector의 길이가 긴 벡터가 길이가 짧은 벡터에 비해 더 많이 퍼져있다.

두 벡터가 이루는 각도의 코사인한 값의 기하학적 의미

• 두 벡터가 이루는 코사인 각도는 두 벡터 각각의 상관계수 분의 공분산이다.

• 즉 두 벡터의 상관계수이다.

• 두 벡터가 같은 방향으로 있으면 각도는 0에 가까워지면, 코사인 0 은 1이기 때문에 상관계수는 1이 된다. 양의 상관관계가 있다.

• 두 벡터가 직각 방향을 이루면 각도는 90에 가까워지고, 코사인 90은 0이기 때문에 상관계수는 0이 된다. 즉 상관관계가 없다.

• 두 벡터가 반대 방향을 이루면 각도는 180에 가까워지고, 코사인 180은 -1이기 때문에 상관계수는 -1이 된다. 즉 음의 상관관계가 있다.

행렬식의 기하학적 의미