Ch1. Signals & Systems, and State

신호, 시스템, 상태에 대한 정의

Books

  • Linear System Theory & Design, 2nd , Saunders, 1984 = 선형대수 파트가 좋음.

Overview

  • Introduction

  • Mathematical description of systems

  • Linear algebra

  • State-space solutions and realizations (Quantity)

  • Stability (Quality)

  • Controllability & observability (Quality)

수학적 사고의 특성을 잘 이해하면서 논리적으로 사고하자 ! 명사에 대해 얼마나 잘 이해하고 있는 지 중요하다!

신호 (시그널) 을 정의하자!

  • 신호는 정보(ex. 음성정보, 영상정보)를 포함하는 함수이다.

함수란 독립변수에 대해서 종속변수가 유일하게 대응되는 관계이다. 독립변수가 사는 세상을 정의역, 종속변수가 사는 공간을 치역이라 한다. 그 함수는 정보를 나타내지 않을 수도 있는데, 만약 정보를 나타낸다면, X라는 함수를 신호라고 말할 수 있다. 예를 들어, t 라는 독립변수(시간)가 있고, X가 음성 정보를 나타낸다면, X(t) 는 신호라 부를 수 있다. 학부에서는 종종 신호를 정보를 포함하는 함수(연속시간신호, C-T) 또는 수열(이산시간신호, D-T)이라고 말한다. 엄밀히 생각해보면, 수열은 정수가 정의역인 특정 값에 대응하는 함수이므로 sequence∈functionsequence \in function 이다.

구분

Independant Variable / 독립변수

Dependent Variable / 종속변수

C-T signal

실수 (t)

실수 (복소수 확장 가능)

D-T signal

정수 (k)

실수 (복소수 확장 가능)

Digital Signal

정수

정수 (컴퓨터는 유한한 값을 저장, 샘플링)

  • 시스템은 신호와 신호사이의 인과 관계 ( Causal Relation ) 이다. Function of Functions 함수들의 함수라고 말할 수 있다.

함수이지만, 신호에서의 함수와 혼동을 하지 않기 위해, 시스템이라고 말한다. Set of Sets 을 Class of Sets 라고 부르는 것과 유사하다. u(t) 가 원인, y(t) 는 결과이다.

연속시간 시스템 / 이산시간 시스템

D-T Representation

T 가 고정되어 있으면, k 에 대한 함수를 쓰고 싶다. 예를 들어, 얘는 첫번째 샘플 두번쨰 샘플 이렇게 표현하고 싶다. 그렇다고, x(kT) = x(k) 와 같이 쓰면 문제를 야기한다. 따라서, x[k] 라고 표현한다. 따라서 x[1] = x(0.1), x[2] = x(0.2) 이다. 연속시간 신호는 u(t) 라고 쓰고, 이산시간신호는 u[k] 라고 쓴다.

Why use C-T or D-T insted of Digital Signal

독립변수는 연속적인 시간 t 이거나, 그 시간을 샘플링 한 것 kT 을 의미한다.

kt(T=0.1,k=0,1,2,.....)kt(T = 0.1, k=0,1,2,.....)

녹색이 이산 신호이고, 보라색(2비트 레지스터로 샘플)은 디지털 신호이다. 보라색으로 녹색을 추정하는 것은 무리이다. 이렇듯, 비트수가 작을 때, Finite word length effect 문제가 있다고 한다. 하지만 비트수가 128개로 충분히 많을 경우, 추정이 가능하므로, 디지털 신호이지만 이산신호로 볼 수 있다. 우리가 다루는 대부분의 신호는 디지털 신호이지만, 이산신호로 보는 이유는 정수보다는 실수가 수학적으로 다루기 쉽기 때문이다. 실수 나누기 실수는 실수 이기 때문이다. (ex. 푸리에, 라플라스 변환 등의 이산시간 변환 : 독립변수가 실수 이기 때문에 가능함 )

Notation

  • f(t),t0≤t≤t1⟺f[t0,t1]f(t), t_0 \leq t\leq t_1 \Longleftrightarrow f_{[t_0, t_1]}

  • f(t),t0≤t<t1⟺f[t0,t1)f(t), t_0 \leq t< t_1 \Longleftrightarrow f_{[t_0, t_1)}

  • f(t),−∞<t<∞⟺f(−∞,∞)f(t), -\infty < t< \infty \Longleftrightarrow f_{(-\infty, \infty)}

  • f^(s)\hat{f}(s) 는 ff 를 라플라스 변환한 변수

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