Ch4.

이자의 종류

이자라는 것은 채권을 발행하는 것이고, 채권에 대한 채무의 의무가 생기는 것임.

“1만원을 빌려주셔서 감사합니다. 1년 뒤 원금 일만원과 이자 1000원을 합쳐서 총 1만 1000원을 돌려드리겠습니다.”

Treasury rates (국채이자)

국가가 돈이 필요해서 채권(자국의 통화)을 발행하고, 이에 대한 감사함으로 이자를 줌. 미국국채이자는 일본정부에서 엔화로 차입(돈을 빌리다)을 할 때, 적용되는 이자율임?? 정부의 채권을 사는 사람은 미국 같은 경우, 연방정부은행에서 매입을 하며, 한국에서는 한국은행이나 시장에서 매입을 함.

  • 무위험 이자율(Risk Free Rate)이란 위험을 안지고 수익을 얻을 수 있는 최고한의 요건임.

  • 한국의 무위험 이자 :

  • 한국에서 가장 신용등급이 높은 것은 정부임. ( 아무리 AAA 급의 은행도 도산의 위험이 있음. )따라서, 국채는 원금 손실 가능성이 0% 이며, 최소한의 얻을 수 있는 이자를 알 수 있음. 이를 무위험 이자율이라고 함.

  • 미국의 무위험 이자:

  • AAA, BBB 이상 은행들 사이에서 교환하는 라이보 금리가 무위험이자율이 됨.

LIBOR (London Inter-bank Offered Rates )

런던의 대형 은행들끼리 자금을 조달할 때, 제시하는 이자율의 평균을 말함. 영국은행연합회가 매년 발행하는 기준 이자율임. 보통 3월물, 6월물이 많음.

  • ex. CD 91 일물 (만기가 91일인 양도성 예금증서 ): 한국의 AAA은행들 사이에 단기에 유동성이 가장 높은 금리

  • LIBID : BID/OFFER의 관계임

  • LIBOR (Bid Rate) →\rightarrow 대형은행이 다른 은행으로부터 돈을 빌릴때, 가산되는 금리

  • LIBID (Offered Rate) →\rightarrow 대형은행이 돈을 빌려줄때, 가산되는 금리

  • LIBOR 의 만기 기간물별 분류 : 1M(1월 후에 만기), 3M 6M, 12M 이 있음.

  • LIBOR FIXING(라이보 금리 결정) :

  • 해당일에 라이보물에 대한 고시 금리는 장이 끝난 시간의 종가가 아닌, 런던 기준으로 11시에 거래가 되는 금액 기준임.

  • LIBOR 금리 조작사건 : 영란은행(BOL, Bank Of England), 골드만삭스

  • 대한민국 CD 담합사건 : CD의 대안으로 코리보, 코픽스 생각

Repo rates (Repurchase Aggrements)

채권을 팔고, 팔았 채권을 다시 사드림. 의 차입 사적인 계약으로서 두 거래 당사장들간의 계약 거래의 재환매 환매조건이 있음.

  • 채권은 부채의 부분으로 집계가 되는데, 환매는 차입의 효과가 있는 거래의 영역으로 봄.

  • 채권상환이자 : 돈을 빌릴때, 이자를 함께 주는데 이자에 대한 차익만 서로 교환함.

한

서

무위험이자

국

LIBOR 금

은의 차입 이

CD 금리

LIBOR 금리

초단기 자본 차입

콜머니

OIS (Overnight Index Swap)

이자의 계산

이자의 다양성

채권의 종류는 만기일, 이자지급방식, 조기 종료 조건 등 에 따라, 종류가 다양하다. 특히, 이자율 산정 방식에서도 다양하며, 이에 대해 객관적인 모형에 대한 필요성이 있다.

이표(Compounding)

에 대한 만기일의 이자가 P.A 10%P.A\text{ }10\% 라고 할때, 원금에 대한 이자를 로 계산한다. 이자를 계산하는 시점을 이표라 하는데 위 예제 같은경우는 한번의 이표이다. 하지만, 여러번 이자를 나누었을 때도 같은 방식일까? 이는 재투자이기 때문에 다르다.

이표수가 커지게 되면, 전체 금액의 변화가 일어난다. 즉, 100(1+0.05)100(1+0.05) 를 다시 원금으로 재투자가 일어나기 때문이다. 100(1+0.05)(1+0.05)100(1+0.05) (1+0.05)

국채같은 경우, 이표는 어느정도 고정이 되어 있지만, 회사 채 같은 경우, 3년 만기, 5년 만기, 7년 만기마다 다르다. 하지만, 공정가치 산출을 위해서 채권의 표준화가 필요하다.

Continuous Compounding 연속복리 모델

1000원을 3년동안 연이율 R 로 분기(m=2)마다 복리를 계산하였을 때, 다음과 같다.

1000(1+R2)61000(1+\frac{R}{2})^6

즉, 일반적으로 1년에 m번 복리계산이 된다면, n 년 후의 미래 가치는 다음과 같다. (이표가 연속적으로 일어날 때 가정함.)

Pn=P(1+rm)nmP_n = P(1+\frac{r}{m})^{nm}
Pn=P(1+rm)nrmrP_n = P(1+\frac{r}{m})^{\frac{n}{r}mr}
Pn=PenrP_n = Pe^{nr}
e=limm→∞(1+rm)m/r=limm→∞(1+1m)m=2.71828..e = lim_{m\rightarrow \infty} (1+ \frac{r}{m})^{m/r} = lim_{m\rightarrow \infty} (1+ \frac{1}{m})^{m} = 2.71828..

이를 다시, 현재가치로 구하면,

Pnenr=Penrenr\frac{P_n}{e^{nr}} = P \frac{e^{nr}}{e^{nr}}
P=Pne−nrP = P_n e^{-nr}

이산복리이자율 vs 연속복리이자율

  • RCR_C : Continuously compounded rate

  • RmR_m : Same rate with compounding m times per year

연속복리이자율

이산복리이자율

9.758%

연이율 10% (분기 = 2)

8.08%

연이율 8% (분기 = 4)

옵션을 계산할 시, 연속 복리(이론가)를 가정하고 계산함.

Zero Rates (무이표 이자율)

국채에 대한 무이표 이자율임 5년 만기의 국채는 실제 이표가 있겠지만 이표를 무시하고 다음과 같음. 상품을 평가하는 데 기준으로 사용됨.

100e0.05∗5100e^{0.05*5}

채권의 현재가치 / 채권 수익률 / 액면가 수익률

채권을 통일하기 위해서는 하나의 기준이 필요하였고, 만기/이자/이표/통화 등 다양하다.

  • 채권 이론가 : 현재가치를 측정 계산할 시에는 이론가의 기준이 되는 Zero Rates 이 필요함.

  • 채권 수익률 : 이론가와 같아지는 이자율

  • 액면가 : 원금과 같아지는 이자율

이론가 산출, 채권 가치에 대한 변동

우리나라는 보통 국채를 사용한다.

채권의 현재 가치가 액면가와 같게 하는 c (채권의 이자율) 을 계산하기 위한 식은 다음과 같다.

c=(100−100d)mAc = \frac{(100-100d)m}{A}

여기서 A 는 각각의 이자를 현재가치로 만들어주는 e−r0.5+e−r1.0+e−r1.5+e−r2.0e^{-r0.5}+e^{-r1.0}+e^{-r1.5}+e^{-r2.0} 의 합이라 보면 된다.

채권 수익률

채권의 액면가

명목금액 최초의 원금을 기준으로 Pay Yield Zero Rate Curve가 필요함.

제로 커브 : 기간이 길어질수록 현재 가치는 떨어짐. 즉 discount rate 이 증가하기 때문인데, 채무자 입장에서는 이 discount rate 이 어떻게 증가하는 지 보는 것도 의미 있을 것 같음. (내생각)

BootStrap 방법이란

무이표이자율 값을 계속 산출한 값을 사용하면서 구한 무이표 이자율을 곡선으로 시간에 따른 기간구조 그린 것을 말함.

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