기하분포

성공의 확률이 p (0<p<1)이고, 실패의 확률이 1-p=q인 확률실험에서 첫 성공이 발생할 때까지 실험이 독립적으로 반복된다. 확률변수 X는 첫 성공이 발생할 때의 시행횟수라 놓으면 X 의 공간은 $S_x = ({1,2,3,4,...})$ 이다. X의 pmf 는 얼마일까? 우선 x-1회 동안 계속 실패를 관측해야 하고 x회 시행에서 첫 성공이 이루어져야 하므로

$$f(x)=P(X=x)=q*q***q*p = q^{x-1}p$$

$$\sum_{S_x}q^{x-1}p = p(1+q+q^2+q^3+...) = \frac{p}{1-q}= \frac{p}{p}=1$$

이므로 f(x)는 pmf 이다. 이 pmf를 기하분포(geometric distribution)라고 한다.